Forma de Newton
Interpolação Polinomial
A forma de Newton para interpolação é uma técnica utilizada para encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. Este polinômio é expresso de maneira eficiente e permite uma forma iterativa para calcular os coeficientes.
O polinômio de interpolação de Newton é dado pela fórmula:
$$P_n(x) = f(x_0) + (x - x_0).d_1 + (x - x_0).(x - x_1).d_2 + \cdots +(x - x_0).(x - x_1) \cdots (x - x_{n-1}).d_n$$
Onde:
- \( d_1, d_2, ..., d_n \) são os operadores diferença dividida (ODD) de ordem 1, 2, ..., n (respectivamente);
- \( d_0 = f[x_i] \) é o ODD de ordem 0, no ponto \(x_i \) e \(x_j \) ;
- \( d_1 = f[x_i, x_j] \) é o ODD de ordem 1, entre os pontos \(x_i \) e \(x_j \) ;
- \( d_n = f[x_1, x_2, \cdots ,x_{n+1}] \) é o ODD de ordem n, entre os pontos \(x_1, x_2 \cdots \) e \(x_{n+1} \) ;
O cálculo das diferenças divididas é feito da seguinte forma:
$$f[x_i] = y_i$$
$$f[x_i, x_{i+1}] = \frac{f[x_{i+1}] - f[x_i]}{x_{i+1} - x_i}$$
$$f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}] - f[x_i, x_{i+1}]}{x_{i+2} - x_i}$$
O processo de interpolação de Newton é útil quando se tem um conjunto de pontos e se deseja construir um polinômio que passe por todos esses pontos. A vantagem da forma de Newton é que, ao adicionar um novo ponto ao conjunto, o polinômio pode ser recalculado de forma eficiente sem a necessidade de reescrever completamente os coeficientes.
