Regra do Trapézio
Teoria Geral
Regra Simples
O método do Trapézio Simples é uma técnica de aproximação para o cálculo de integrais definidas. Ele utiliza a ideia de aproximar a área sob a curva de uma função \( f(x) \) por um trapézio, considerando apenas os pontos nos limites de integração \( a \) e \( b \).
A fórmula para o cálculo da integral de uma função \( f(x) \) no intervalo \( [a, b] \) é:
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{b - a}{2} \left( f(a) + f(b) \right)+ \varepsilon $$ $$ \int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{h}{2} \left( y_0 + y_1 \right)+ \varepsilon $$Onde:
- \(a = x_0 \) e \( b = x_1 \) são os limites de integração.
- \(y_0 = f(x_0) \) e \( y_1 = f(x_1) \) são as imagens
- \( \varepsilon \) é o erro, ver fórmula abaixo.
- \( h = b - a \) é o passo.
Erro do Método do Trapézio Simples
O erro associado ao método do Trapézio Simples é dado por:
$$ \varepsilon = -\frac{h^3}{12} f''(\xi) $$Onde:
- \( \xi \) é um ponto qualquer no intervalo \( [a, b] \)
- \( f''(\xi) \) é a segunda derivada da função no ponto \( \xi \)
Obs.: Esse erro depende da curvatura da função. Se a função for muito curva, o erro tende a ser maior.
Exemplo do Trapézio Simples
Vamos calcular a integral de \( f(x) = x^2 \) no intervalo \( [1, 3] \) usando o método do Trapézio Simples:
$$ I_T = \int_{1}^{3}x^2dx = \frac{h}{2} \left( y_0 + y_1 \right)+ \varepsilon $$ $$ I_T = \frac{(3-1)}{2} \left( f(1) + f(3) \right)+ \varepsilon $$ $$ I_T = \frac{(2)}{2} \left( 1^2 + 3^2 \right)+ \varepsilon $$ $$ I_T = 10 + \varepsilon $$A integral exata é:
$$ I_e = \int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 $$ $$ I_e = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.6667 $$O erro estimado pela fórmula é:
$$ \varepsilon = -\frac{(h)^3}{12} f''(\xi) = -\frac{(2)^3}{12} 2 $$ $$ \varepsilon = -\frac{16}{12} = -1.3333 $$Obs.: Neste exemplo pode calcular o erro de outra maneira:
$$ \varepsilon = I_e - I_T $$ $$ \varepsilon = 8.6667 - 10 = -1.3333 $$Regra do Trapézio Repetida
O método do Trapézio Reepetido divide o intervalo \( [a, b] \) em \( n \) subintervalos de igual comprimento e aplica o método do Trapézio Simples em cada subintervalo. Ele é mais preciso que o método simples, pois utiliza mais pontos de avaliação da função.
A fórmula para o Trapézio Composto é dada por:
$$ T_n = \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right) $$Onde:
- n é o número de subintervalos.
- h é a largura de cada subintervalo, dada por \( h = \frac{b - a}{n} \).
- \( x_0 \) e \( x_n \) são os pontos de início e fim do intervalo de integração.
- \( x_i \) são os pontos intermediários no intervalo \( [a, b] \).
- \( x_0 \) e \( x_n \) são os pontos de início e fim do intervalo de integração.
- \( f(x_i) = y_i \) são as imagens dos \( x_i \)
Erro do Método do Trapézio Repetido
Para \( n \) repetições, o erro é dado pela fórmula:
$$ \varepsilon_{T_R} = -n.\frac{(h)^3}{12} f''(\xi) $$O erro depende de \( n \) (número de subintervalos) e da curvatura da função. Quanto maior o valor de \( n \), menor o erro.
Exemplo do Trapézio Repetido
Vamos calcular a integral de \( f(x) = x^2 \) no intervalo \( [1, 3] \) usando o método do Trapézio Composto com \( n = 2 \) subintervalos:
Dividindo o intervalo \( [1, 3] \) em 2 subintervalos, temos \( h = \frac{3 - 1}{2} = 1 \). Então, os pontos de avaliação são \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \), e \( x_2 = 3 \).
A fórmula do Trapézio Composto fica:
$$ I_{T_2} = \int_{1}^{3}x^2dx = \frac{h}{2} \left( y_1 + 2y_2 + y_3 \right) + \varepsilon $$ $$ I_{T_2} = \frac{1}{2} \left( 1^2 + 2.2^2 + 3 \right) + \varepsilon $$ $$ I_{T_2} = \frac{1}{2} \left( 18 \right) + \varepsilon = 9 + \varepsilon $$O valor aproximado da integral é 9. O erro estimado será:
$$ \varepsilon_{T_R} = -n.\frac{(h)^3}{12} f''(\xi) $$ $$ \varepsilon_{T_R} = -2.\frac{1^3}{12}.2 = -\frac{4}{12} \approx -0.3333 $$Voltar à Página Anterior para escolher outro método de integração