Propagação de Erros
Teoria e Fórmulas
Nos métodos de cálculo numérico, é importante entender como os erros, na representação binária, afetam os resultados. Ou seja, simplesmente por resolver um problema usando uma máquina digital (computador, calculadora, planilhas eletrônicas, etc) a resposta já está sucetível à erros.
Existem dois tipos principais de erro, para estudá-los, adotaremos a simbologia:
\[ \text{Valor Exato = }x \]
\[ \text{Valor Aproximado = }\overline{x} \]
Erro Absoluto
O erro absoluto é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado de uma quantidade. Sua fórmula é dada por:
\[ EA(x) = x - \overline{x} \]
Erro Relativo
O erro relativo é o erro absoluto dividido pelo valor exato, e é expressado como uma fração do valor exato. Sua fórmula é dada por:
\[ ER(x) = \frac{EA(x)}{\overline{x}} = \frac{x - \overline{x}}{\overline{x}} \]
Fórmulas de Propagação de Erros
Quando realizamos operações com valores aproximados, os erros se propagam. Abaixo estão as fórmulas de propagação de erro para as quatro operações básicas.
Erros Absoluto e Relativo da Soma e Subtração:
Para a soma e a subtração de duas variáveis, as fórmulas para a propagação do erro são similares, trocam-se os sinais "+" e "-", respectivamente. Vejamos:
\[ EA(x \pm y) = EA(x)\pm EA(y) \]
\[ ER(x \pm y) = ER(x).\left( \frac{\overline{x}}{\overline{x}\pm \overline{y}}\right) \pm ER(y).\left( \frac{\overline{y}}{\overline{x}\pm \overline{y}}\right) \]
Erros Absoluto e Relativo da Multiplicação:
Para a multiplicação de duas variáveis, a propagação do erro é dada por:
\[ EA(x \times y) = \overline{x}.EA(y)+\overline{y}.EA(x) \]
\[ ER(x \times y) = ER(x)+ER(y) \]
Erros Absoluto e Relativo da Divisão:
Para a divisão de duas variáveis, a propagação do erro é dada por:
\[ EA(x \div y) = \frac{\overline{x}.EA(y)-\overline{y}.EA(x)}{(\overline{y})^2} \]
\[ ER(x \div y) = ER(x)-ER(y) \]
Exemplo Prático
Considere, de acordo a notação descrita acima, as seguintes variáveis e suas respectivas aproximações: \( x = 5.1 \), \( \overline{x} = 5.0 \), \( y = 10.15 \) e \( \overline{y} = 10.0 \)
Erros absoluto e relativo em \( x \):
\[ EA(x) = 5.1 - 5.0 = 0.1 \]
\[ ER(x) = \frac{0.1}{5.0} = 0.02 \]
Erros absoluto e relativo em \( y \):
\[ EA(y) = |10.15 - 10.00| = 0.15 \]
\[ ER(y) = \frac{0.15}{10.00} = 0.015 \]
Erro absoluto em \( z = x+y \):
\[ EA(z)=EA(x+y)=EA(x)+EA(y) \]
\[ EA(z)= 0.1 + 0.15 = 0.25 \]
Erro relativo em \( z \):
\[ ER(z) = ER(x + y) = ER(x).\left( \frac{\overline{x}}{\overline{x}+ \overline{y}}\right) + ER(y).\left( \frac{\overline{y}}{\overline{x} + \overline{y}}\right) \]
\[ ER(z) = 0.02\times\left( \frac{5.0}{5.0+10.0}\right) + 0.015\times\left( \frac{10.0}{5.0+10.0}\right) \]
\[ ER(z) = \frac{1}{60} = 0.01666... \simeq 0.0167 \]
Outra maneira: podemos usar a definição para calcular \( ER(Z) \):
\[ ER(z) = \frac{EA(z)}{\overline{z}} = \frac{EA(z)}{\overline{x}+\overline{y}} \]
\[ ER(z) = \frac{0.25}{(5.0+10.0)} = 0.01666... \simeq 0.0167 \]
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