O ajuste exponencial é uma técnica usada para modelar dados que seguem um padrão de crescimento ou decrescimento exponencial. A equação geral do modelo exponencial é dada por:

\[ y(t) = A \cdot e^{B \cdot t} \]

Onde:

• y(t) é o valor de saída no tempo t,
• A é a amplitude (valor inicial),
• B é a taxa de crescimento ou decrescimento,
• e é a base do logaritmo natural.

Exemplo:

Vamos considerar 4 pontos de dados para ajustar uma curva exponencial:

• Ponto 1: \( (t_1, y_1) = (0, 1) \)
• Ponto 2: \( (t_2, y_2) = (1, 2.7) \)
• Ponto 3: \( (t_3, y_3) = (2, 7.4) \)
• Ponto 4: \( (t_4, y_4) = (3, 20.1) \)

Usando o método de ajuste de mínimos quadrados, podemos encontrar os valores de A e B que melhor se ajustam a esses dados.

Cálculos:

O modelo exponencial pode ser ajustado linearizando a equação original. Para isso, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados da equação:

\[ \ln(y(t)) = \ln(A) + B \cdot t \]

Agora, a equação é uma reta, onde podemos aplicar o método dos mínimos quadrados para estimar os parâmetros \( \ln(A) \) e \( B \).

Passos para o Ajuste:

1. Calcule \( \ln(y(t)) \) para cada ponto de dados.
2. Aplique o método dos mínimos quadrados para estimar \( \ln(A) \) e \( B \).
3. Encontre os valores de \( A \) e \( B \) a partir dos parâmetros estimados.

Resultado do Ajuste

Após o ajuste, obtemos a equação exponencial aproximada que melhor descreve os dados fornecidos.

Por exemplo, suponha que o modelo ajustado seja:

\[ y(t) = 1.0 \cdot e^{0.9 \cdot t} \]

Conclusão

O ajuste exponencial é útil para modelar fenômenos que seguem padrões de crescimento ou decrescimento exponenciais, como populações, decaimento radioativo, entre outros.

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